L'équation impossible
L'équation indéterminée

1. RECOMMANDATIONS

 

 Pour bien comprendre ce qui va être montré dans ce cours, il est indispensable
d'avoir suivi au moins le premier cours sur les équations.

 

 Efforce-toi de résoudre ces équations par toi-même avant de consulter
les solutions. Fais-le, c'est très important, car c'est seulement de cette
façon que l'on progresse.

 

 

 

2. L'ÉQUATION IMPOSSIBLE

 

 

Exemple 1

 

Tu te demandes à quoi l'équation impossible peut-elle bien ressembler ?
C'est une petite merveille, en voici un exemple !

 

Proposons-nous de résoudre cette sympathique équation :

 

 

A chaque membre, ajoutons 5 et retranchons 2 :

 

 

Réduisons dans chaque membre.
Il vient :

 

 

Cette dernière écriture nous pose un (très) gros problème.
Car en effet :

 

Un produit où l'un des facteurs est égal à zéro conduit à un résultat égal à zéro
et... surtout pas à 7 !

 

Comprends bien que, quelle que soit la valeur que peut prendre , le résultat
du produit de cette valeur par zéro sera toujours égal à zéro. Jamais à 7.

 

Conclusion

• L'équation proposée n'admet aucune solution.

 

 

 

Définition

Une équation est dite impossible quand elle n'admet aucune solution.

 

 

Exemple 2

 

On se propose de résoudre l'équation suivante :

 

 

STOP ! Pas la peine d'aller plus loin !

 

 Car en effet, un carré est toujours positif, jamais négatif.
Conséquence : aucun nombre élevé au carré ne peut être égal à –16.

 

Conclusion

• L'équation proposée n'admet aucune solution.

 

 

Exemple 3

 

On se propose de résoudre l'équation suivante :

 

 

Développons et réduisons dans le membre de gauche :

 

 

 

A chaque membre, ajoutons 3 et retranchons 7 :

 

 

Réduisons dans chaque membre.
Il vient :

 

 

Un produit où l'un des facteurs est égal à zéro conduit à un résultat égal à zéro.

 

Conclusion

• L'équation proposée n'admet aucune solution.

 

3. L'ÉQUATION INDÉTERMINÉE

 

 

Exemple 1

 

Imaginons maintenant que nous ayons à résoudre cette équation bizarroïde :

 

 

A chaque membre, ajoutons 4 et retranchons 3 :

 

 

Réduisons dans chaque membre.
Il vient :

 

 

 

Question

A ton avis, que peut-on dire de cette dernière égalité ?

 

Réponse

Quelle que soit la valeur de , l'égalité sera toujours vraie.

 

 En effet, quelle que soit la valeur que peut prendre , le produit de zéro
par cette valeur sera toujours égal à zéro.

 

Conclusion

• L'équation proposée admet une infinité de solutions.

 

 

 

Définition

Une équation est dite indéterminée quand elle admet une infinité de solutions.

 

 

Exemple 2

 

On se propose de résoudre l'équation suivante :

 

 

Eliminons les dénominateurs en multipliant chaque membre par 30 :

 

 

Attention !

• On multiplie chaque membre par 30 et non pas par le dénominateur commun :
3 x 5 x 6 x 10 = 900 ! Pourquoi ? Parce que les nombres 3, 5, 6 et 10 divisent
tous le nombre 30. Dit autrement : 30 est le plus petit commun multiple des
nombres 3, 5, 6 et 10. D'accord ?

 

On obtient donc l'égalité équivalente :

 

 

Développons dans chaque membre.
Il vient :

 

 

Réduisons dans le membre de gauche.
Il vient :

 

 

A chaque membre, ajoutons 24 et retranchons 3 :

 

 

Réduisons dans chaque membre.
Il vient :

 

 

 Quelle que soit la valeur que peut prendre , le produit de zéro par cette valeur
sera toujours égal à zéro.

 

Conclusion

• L'équation proposée admet une infinité de solutions.

 

 

 

 

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