Les ensembles de nombres

1. L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS

 

 Les nombres entiers naturels sont les nombres que l'on utilise habituellement pour
compter des objets.

 

 On dira ainsi :
j'ai « quatre crayons » ou : j'ai pris « deux heures » de colle.

 

 L'ensemble des nombres entiers naturels est noté :

 

 = {0; 1; 2; 3...}

 

2. L'ENSEMBLE DES ENTIERS RELATIFS

 

 C'est l'ensemble formé des entiers naturels (donc positifs), d'une part, et de leurs
opposés (donc négatifs), d'autre part.

 

 L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté :

 

= {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3...}

 

 

Note bien

• Comme les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs positifs, alors :
l'ensemble est inclus dans .

• Nous écrivons :

 

3. L'ENSEMBLE DES DÉCIMAUX

 

 Les nombres décimaux sont les nombres qui peuvent être obtenus en divisant
un entier relatif par 1, 10, 100, 1000...
C'est-à-dire : une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.

 

 L'ensemble des nombres décimaux est noté :

 

 Exemples de nombres décimaux :

 

 

 

 

Remarque

• Un nombre décimal possède un nombre fini de chiffres à droite de la virgule.
Donc, les nombres 123,45 et –5,004 ci-dessus sont bien des nombres décimaux.

• Mais, par exemple, le quotient : 1 ÷ 3 = 0,333333333... n'est pas un nombre
décimal car ce quotient possède une partie décimale illimitée (formée du chiffre 3).

 

Note bien

• Tout entier est aussi un nombre décimal.
Car en effet, considérant un nombre appartenant à , nous pouvons écrire :

 

• Conséquence : l'ensemble des entiers relatifs est inclus dans .

• Nous écrivons :

 

4. L'ENSEMBLE DES RATIONNELS

 

 Les nombres rationnels sont les nombres égaux au quotient de deux nombres
entiers relatifs, c'est-à-dire à des fractions.

 

 

 Exemples de nombres rationnels :

 

 

 

Note bien

• Tout nombre décimal est aussi un nombre rationnel.
Car en effet, nous savons que tout nombre décimal peut être obtenu en divisant
un entier relatif par une puissance de 10, comme par exemple :

 

• Nous écrivons :

 

5. LES NOMBRES IRRATIONNELS

 

Exemple 1 : racine de 2

 Le théorème de Phytagore introduit des calculs avec des racines carrées.
Par exemple : proposons-nous de calculer la longueur de l'hypoténuse d'un triangle
rectangle dont les côtés issus de l'angle droit ont pour longueur 1.

 

 

 

 Ci-dessus : AC = BC = 1
Appliquons le théorème de Pythagore :

 

 

 

 

Il n'existe pas de nombre rationnel égal à racine de 2.

 

 

Exemple 2 : le nombre pi

 Le périmètre p d'un cercle ayant 1 cm de diamètre est égal à :

 

 

Il n'existe pas de nombre rationnel égal à pi.

 

 

Conclusion

• Les nombres tels que racine de 2, pi, etc... ne peuvent pas être exprimés
sous la forme de rationnels. Ces nombres sont appelés : nombres irrationnels.

 

Remarque

• On peut noter, à l'aide du symbole II, l'ensemble des irrationnels.
Toutefois, cette notation est rarement utilisée.

 

6. L'ENSEMBLE DES RÉELS

 

 Pour pouvoir exprimer toutes les valeurs possibles, compte tenu des nombres
irrationnels, il nous faut envisager un ensemble de nombres plus vaste.

 

 Ce nouvel ensemble, formé des nombres rationnels et des nombres irrationnels,
est l'ensemble de tous les nombres, appelés nombres réels.

 

Note bien

• L'ensemble Q des rationnels est inclus dans l'ensemble des réels.
Par conséquent, on a finalement :

 

 

• Récapitulation des relations d'inclusion sous forme de diagramme de Venn :

 

 

Remarque

• L'ensemble II des nombres irrationnels n'apparaît pas dans le schéma ci-dessus,
car son inclusion dans l'ensemble des réels est sous-entendue.

 

7. ENSEMBLES DE NOMBRES NON NULS (ZÉRO EXCLU)

 

 

Exemple 1 : ensemble des réels non nuls

 

 On note, avec une étoile en haut à droite de la lettre, un ensemble de nombres
où le nombre zéro est exclu.
Par exemple :

 Ci-dessus : l'ensemble des réels, zéro exclu.
On peut dire aussi, ce qui revient au même : l'ensemble des réels non nuls.

 

 

Exemple 2 : ensemble des entiers naturels non nuls

 

 Ci-dessus : l'ensemble des entiers naturels, zéro exclu.
On peut dire aussi, ce qui revient au même : l'ensemble des entiers naturels non nuls.

 

8. ENSEMBLES DE NOMBRES POSITIFS

 

 

Exemple 1 : ensemble des entiers relatifs positifs

 

 On note, avec le signe plus (+) en bas à droite de la lettre, un ensemble formé
de nombres positifs seulement, zéro inclus.
Par exemple :

 

 

Exemple 2 : ensemble des réels positifs

 

 C'est l'ensemble de tous les réels positifs, zéro inclus :

 

 

Rappel

• Le nombre zéro est à la fois positif et négatif.

 

9. ENSEMBLES DE NOMBRES NÉGATIFS

 

 

Exemple 1 : ensemble des entiers négatifs

 

 On note, avec le signe moins (–) en bas à droite de la lettre, un ensemble formé
de nombres négatifs seulement, zéro inclus.
Par exemple :

 

 

Exemple 2 : ensemble des réels négatifs

 

 C'est l'ensemble de tous les réels négatifs, zéro inclus :

 

 

Rappel

• Le nombre zéro est à la fois positif et négatif.

 

10. ENSEMBLES DE NOMBRES STRICTEMENT POSITIFS

 

 

Exemple 1 : ensemble des entiers strictement positifs

 

 C'est l'ensemble formé de nombres positifs non nuls (le nombre zéro est exclu).
L'écriture combine alors l'étoile (*) et le signe plus (+).
Comme par exemple :

 

 

Exemple 2 : ensemble des réels strictement positifs

 

 

11. ENSEMBLES DE NOMBRES STRICTEMENT NÉGATIFS

 

 

Exemple 1 : ensemble des entiers strictement négatifs

 

 C'est l'ensemble formé de nombres négatifs non nuls (le nombre zéro est exclu).
L'écriture combine alors l'étoile (*) et le signe moins (–).
Comme par exemple :

 Ci-dessus : ensemble des entiers relatifs strictement négatifs.

 

 

Exemple 2 : ensemble des réels strictement négatifs

 

 

 

 

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 SOLUTION DE L'EXERCICE
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• Nous avons à résoudre l'équation :

• Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il suffit que l'un
des facteurs soit nul. Ce qui signifie, dans le cas de
l'équation ci-dessus :

• L'équation (1) conduit à :

• L'équation (2) conduit à :

• L'équation (3) conduit à :

• L'équation proposée admet trois solutions :

 

Note Remarque la notation ci-dessus où les trois
solutions de l'équations sont écrites entre parenthèses,
les valeurs étant séparées par des points-virgules.

 


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